• داده های ترکیبی ما را قادر می‌سازند تا مدل های رفتاری پیچیده تر را مطالعه کنیم.

داده های ترکیبی با ارائه داده برای هزاران واحد، می ­توانند تورشی را که ممکن است در نتیجه لحاظ افراد یا بنگاه ها حاصل شود حداقل سازد.

یک مدل هیچگاه قادر به توصیف دقیق واقعیت نمی ­باشد و این بدان معنا خواهد بود که برای دریافتن اساسی پدیده تحت مطالعه، تنها متغیرهای کلیدی را در تحلیل وارد می­نمائیم و بدین وسیله تمام اثرات تصادفی و جزئی را به جزء اخلال محول می­نمائیم.

۳-۱۲-تخمین OLS در صورت وجود ناهمسانی در واریانس

چنانچه ناهمسانی با درنظر گرفتن به وجود آید ولی سایر فروض مدل کلاسیک همچنان تأمین شده باشند برای تخمین زنهای OLS و واریانسهایشان چه پیش می‌آید؟

برای ‌پاسخ‌گویی‌ به سوال فوق به مدل دو متغیره بر می­گردیم.

با بهره گرفتن از فرمول معمول، تخمین زننده OLS برای چنین است:

حال، واریانس آن به عبارت زیر می‌باشد:

همچنان که مشاهده می شود با فرمول معمول واریانس که در حالت همسانی به دست آمده بود، متفاوت است. یعنی

همچنین لازم به تذکر است که اگر فروض مدل کلاسیک که شامل همسانی نیز است پابرجا بمانند، بهترین تخمین زن خطی بدون تورش ^[۳۳](BLUE) می‌باشد. آیا اگر فقط فرض همسانی را حذف و فرض ناهمسانی را جایگزین آن کنیم، باز هم BLUE خواهد بود؟ برای بدون تورش بودن الزامی به همسان بودن واریانس اجزاء اخلال نیست. در حقیقت، واریانس همسان باشد یا نباشد، نقشی در تعیین ویژگی بدون تورش بودن ندارد.

نظر به اینکه ‌هنوز هم بدون تورش خطی است، آیا «کارآ» یا «بهترین» می‌باشد؟ یعنی آیا در گروه تخمین زنهای بدون تورش خطی دارای حداقل واریانس است؟ جواب هر دو سوال منفی است.

دیگر «بهترین» نیست و نیز دارای حداقل واریانس نیست پس در این صورت چه تخمین زنی خصوصیات BLUE بودن را در صورت وجود ناهمسانی دارد؟ پاسخ این سوالات در قسمت بعدی است.

۳-۱۲-۱-روش حداقل مربعات تعمیم یافته (GLS)

چرا تخمین زن از طریق OLS معمولی با آنکه ‌هنوز هم بدون تورش است، بهترین نیست؟ روش OLS معمولی از «اطلاعاتی» که حاکی از تغییرپذیری نامساوی متغیر مستقل Y هستند، استفاده نمی کند. OLS معمولی، وزن یا اهمیت مساوی به هر یک از مشاهدات می‌دهد. اما روش تخمینی معروف به حداقل مربعات تعمیم یافته (GLS)، اطلاعات فوق را دقیقاً به حساب آورده و ‌بنابرین‏، قادر است تخمین زنی را به دست آورد که BLUE هستند. برای اثبات چگونگی انجام این روش، با مدل آشنای دو متغیره ادامه می‌دهیم:

که برای رفع نقص جبری آن می توان نوشت:

که در آن برای هر i ، است. به راحتی می توان ملاحظه نمود که این دو فرمول مساوی هستند.

حال فرض کنید که واریانسهای ناهمسان معلوم باشد؛ خواهیم داشت:

که برای رفع مشکل چنین می نویسم:

که متغیرهای ستاره دار یا تبدیل شده، متغیرهای اصلی هستند که بر (معلوم) تقسیم شده اند. از علامت و ، (یعنی پارامترهای مدل تبدیل شده) برای تشخیص از پارامترهای و حداقل مربعات معمولی استفاده می‌کنیم.

علت تبدیل مدل اصلی چیست؟ برای پی بردن به علت آن، به جزء خطای تبدیل شده در حالت زیر توجه کنید.

ازآنجا که معلوم است.

از آنجا که است.

که یک مقدار ثابت است. یعنی واریانس جزء اخلال تبدیل شده همسان شده است. از آنجا که هنوز سایر فروض مدل کلاسیک پابرجاست، پس به دست می‌آید. یعنی همسانی بیان می‌کند که اگر را به مدل تبدیل شده بدهیم، تخمین ‌زن‌هایی به دست می‌آیند که BLUE هستند. به طور خلاصه و تخمین زده شده BLUE هستند، ولی و از تخمین زنهای OLS، BLUE نیستند.

روش تبدیل متغیرهای اصلی به نحوی که متغیرهای تبدیل شده فروض مدل کلاسیک را تأمین کنند و سپس به کاربردن روش OLS ‌در مورد آن ها معروف به روش حداقل مربعات تعمیم یافته (GLS) است. به طور خلاصه GLS همان OLS برای متغیرهای تبدیل شده است که فروض استاندارد حداقل مربعات را تأمین می‌کند. ‌بنابرین‏، تخمین زنهای حاصله معروف به تخمین زنهای GLS هستند که BLUE
می‌باشند.

عملکرد واقعی تخمین زدن و به نحو زیر است:

حال برای به دست آوردن تخمین زنهای GLS ، معادله زیر را حداقل می‌کنیم:

که می شود:

به عبارتی، تخمین زن GLS از چنین است:

و واریانس آن به وسیله فرمول زیر داده می شود.

که در آن است.

۳-۱۲-۲- تفاوت میانGLS و OLS

در OLSعبارت زیر را به حداقل می رساندیم:

اما در GLS عبارت زیر را حداقل می‌کنیم، که می توان چنین نوشت:

‌بنابرین‏ در GLS مجموع وزنی مربعات باقیمانده را با که نمایشگر وزن متوسط است،

حداقل می‌کنیم. ولی در OLS ما RSS غیر وزنی یا هم وزن را به حداقل می رسانیم. در GLS وزن منسوب به هر مشاهده دارای نسبت معکوس با مربوطه است یعنی مشاهداتی که از جامعه ای با بزرگتر به دست می‌آیند، وزن نسبتاً کوچکتر، و مشاهداتی که از جامعه ای با کوچکتر به دست می‌آیند به طور متناسب وزن بزرگتری در حداقل کردن RSS می گیرند.

نتایج کاربرد روش OLS در شرایط وجود ناهمسانی واریانس

همان گونه که مشاهده گردید، هم و هم و تخمین زنهای بدون تورش (خطی) هستند. در نمونه گیری‌های تکراری ، و به طور متوسط با واقعی مساوی هستند. یعنی هر دو تخمین زنهای بدون تورش هستند. اما می‌دانیم که تنها است که کارا می‌باشد، یعنی، دارای حداقل واریانس است. حال اگر ما به استفاده از تخمین به دست آمده از روش OLS ادامه دهیم در فاصله اعتماد، آزمون فرضیه و غیره چه پیش می‌آید؟ دو حالت را تشخیص می‌دهیم:

۱- تخمین OLS با علم به وجود ناهمسانی واریانس

فرض کنیم که از و فرمول واریانس در حالت OLS که دقیقاً ناهمسانی را به حساب می آورد، استفاده کنیم. با بهره گرفتن از این واریانس و با فرض معلوم بودن ها، آیا می توان در حالت کلی فواصل اعتماد را ساخته و فرضیه‌ها را با آزمون‌های F و t معمول آزمون کنیم؟ پاسخ منفی است زیرا می توان نشان داد که: است .

یعنی اینکه فاصله اعتماد بر اساس بیش از حد لازم بزرگ خواهد شد، و در نتیجه آزمون‌های t و F احتمالاً نتایج غلطی به ما می‌دهند، چرا که واریانس غالباً بزرگ بوده و از لحاظ آماری ضریب معنی داری نمی شود (چرا که مقدار t کوچکتر از مقدار مناسب آن است)، در واقع اگر فاصله اعتماد صحیح بر مبنای روش (GLS) ساخته شود، ممکن است ضریب معنی دار باشد.

۲- تخمین OLS بدون توجه به وجود ناهمسانی واریانس