ماتریس کوواریانس آمیخته و آماره آزمون عبارت است از:
و
با در نظر گرفتن و با توجه به اینکه است، داریم:
بنابراین با توجه به اینکه است فرض صفر رد نمی­ شود. به عبارت دیگر میانگین نمرات دو گروه تفاوت معنی داری با یکدیگر ندارند.

آزمون MNV
ماتریس و آماره آزمون عبارت است از:
و
مجدداً با در نظر گرفتن در جه آزادی و مقدار بحرانی عبارت است از:
بنابراین با توجه به اینکه است فرض صفر رد نمی­ شود. به عبارت دیگر میانگین نمرات دو گروه تفاوت معنی داری با یکدیگر ندارند.
مثال ۵-۲: این مثال به بررسی تغییرات ایجاد شده در برخی از ویژگی­های جمجمه در طول زمان در ۵ جامعه می ­پردازد. (داده ­ها براساس کتاب تامسون (Thomson) و راندال (Randall) جمع­آوری شده است.) بدین منظور از هر کدام از ۵ دوره اوایل دوره قبل از مصر باستان ( حدود ۴۰۰۰ سال قبل از میلاد )، اواخر دوره قبل از مصر باستان ( حدود ۳۳۰۰ سال قبل از میلاد )، دوره دوازدهمین و سیزدهمین پادشاه مصر ( حدود ۱۸۵۰ سال قبل از میلاد )، دوره بطلمیوسی ( حدود ۲۰۰ سال قبل از میلاد ) و دوره رومی­ها ( حدود ۱۵۰ سال بعد از میلاد ) ۳۰ جمجمه انتخاب شده است و برای هر جمجمه ۴ ویژگی حداکثر پهنا (maximum breadth)، اندازه استخوان گونه ( zygomatic length )، طول دندانی (dentoalveolar length) و ارتفاع بینی (nasal height) اندازه ­گیری شده است. (مشخصات ذکر شده از جمجمه­های مردان مصری در منطقه تبس اندازه ­گیری شده و بر حسب میلی­متر می­باشد.) همچنین مشاهدات جمع­آوری شده از توزیع نرمال چند متغیره تبعیت می­ کنند.
به منظور راحتی در انجام محاسبات، ۴ دوره زمانی اول و از هر دوره، ۱۵ مشاهده اول در نظر گرفته شده است. هدف از این مطالعه آگاهی از این موضوع است که آیا مشخصات ذکر شده در طول زمان به طور متوسط تغییر کرده است یا نه.
بنابراین در این مثال ۴ گروه ۴ بعدی داریم به گونه ­ای که تمام اندازه­ های نمونه ۱۵ می­باشد. فرض­های مورد نظر عبارت است از:
براساس داده ­ها بردارهای میانگین نمونه ­ای عبارت است از:
همچنین ماتریس­های زیر را در نظر بگیرید:
بنابراین بردار و آماره برابر است با
و
آزمون جانسن
با توجه به روابط ( ۳-۱-۲ ) و ( ۳-۱-۱ ) مقادیر و محاسبه می­ شود. همچنین مقدار مشاهده شده آماره آزمون جانسن برابر است با:
.
با در نظر گرفتن و با توجه به اینکه و به دست می ­آید، است.
بنابراین به دلیل اینکه نتیجه می­گیریم فرض صفر رد می­ شود. همچنین با توجه به اینکه
و کمتر از سطح معنی داری است، نتیجه می­گیریم فرض صفر رد می­ شود. به عبارت دیگر مشخصات اندازه ­گیری شده از جمجمه­ها با گذشت زمان تغییر می­ کند.
آزمون متغیر تعمیم یافته
براساس این آزمون ابتدا ماتریس­های و بردارهای را برای ۴ گروه محاسبه می­کنیم. سپس به دفعات زیاد مثلاً ۱۰۰۰۰۰ بار ماتریس­های تصادفی را از توزیع تولید می­کنیم. در هر بار با بهره گرفتن از مقادیر ، و آماره را با بهره گرفتن از رابطه ( ۳-۲-۳ ) به دست می­آوریم. سپس p- مقدار را از طریق نسبت دفعاتی که آماره بزرگتر یا مساوی با مقدار ۱ است محاسبه می­کنیم که برابر با ۰۰۰۹/۰ به دست می ­آید. بنابراین با توجه به اینکه p- مقدار کمتر از سطح معنی داری است، نتیجه می­گیریم فرض صفر رد می­ شود. به عبارت دیگر مشخصات اندازه ­گیری شده از جمجمه­ها با گذشت زمان تغییر می­ کند.
آزمون بوت استراپ پارامتری
برای به دست آوردن p- مقدار آزمون PB ضرایب چولسکی را محاسبه می­کنیم. سپس با بهره گرفتن از الگوریتم گفته شده در بخش ۳-۳، p- مقدار بوت استراپ پارامتری را محاسبه کرده که برابر با ۰۴۱۰/۰ می­ شود. بنابراین با توجه به اینکه p- مقدار کمتر از سطح معنی داری است، نتیجه می­گیریم فرض صفر رد می­ شود. به عبارت دیگر مشخصات اندازه ­گیری شده از جمجمه­ها با گذشت زمان تغییر می­ کند.
مثال ۵-۳: در این مثال به بررسی انجام شده بر روی سه گونه گل از گل­های سوسن می­پردازیم. (داده ­ها از کتاب اندرسون جدول ۳-۴ جمع­آوری شده است.) در یک تحقیق زیست شناسی سه گونه گل از هر گونه ۱۰ گل به عنوان نمونه در نظر گرفته شده است. از هر نمونه ۴ ویژگی طول کاسبرگ (sepal length)، پهنای کاسبرگ (sepal width)، طول گلبرگ (petal length) و پهنای گلبرگ (petal width) اندازه ­گیری شده است.حال می­خواهیم بررسی کنیم که آیا ۴ ویژگی مورد نظر به طور متوسط در این سه گونه گل تفاوت دارند یا نه. به عبارت دیگر می­خواهیم فرض زیر را آزمون کنیم:
براساس داده ­ها بردارهای میانگین نمونه ­ای عبارت است از:
همچنین ماتریس­های زیر را در نظر بگیرید:
بنابراین بردار و آماره برابر است با
و
آزمون جانسن
با توجه به روابط ( ۳-۱-۲ ) و ( ۳-۱-۱ ) مقادیر و محاسبه می­ شود. همچنین مقدار مشاهده شده آماره آزمون جانسن برابر است با:
.
با در نظر گرفتن و با توجه به اینکه و به دست می ­آید، است.
بنابراین به دلیل اینکه نتیجه می­گیریم فرض صفر رد می­ شود. همچنین با توجه به اینکه
و کمتر از سطح معنی داری است، نتیجه می­گیریم فرض صفر رد می­ شود. به عبارت دیگر مشخصات اندازه ­گیری شده از سه گونه گل به طور متوسط متفاوت است.
آزمون متغیر تعمیم یافته
براساس این آزمون ابتدا ماتریس­های و بردارهای را برای ۳ گروه محاسبه کرده و سپس براساس رابطه ( ۳-۲-۳ ) آماره را ۵۰۰۰ به دست می­آوریم. سپس p- مقدار را از طریق نسبت دفعاتی که آماره بزرگتر یا مساوی با مقدار ۱ است محاسبه می­کنیم که برابر با صفر به دست می ­آید. بنابراین با توجه به اینکه p- مقدار کمتر از سطح معنی داری است، نتیجه می­گیریم فرض صفر رد می­ شود. به عبارت دیگر مشخصات اندازه ­گیری شده از سه گونه گل به طور متوسط متفاوت است.
آزمون بوت استراپ پارامتری
برای به دست آوردن p- مقدار آزمون PB ضرایب چولسکی را محاسبه می­کنیم. سپس با بهره گرفتن از الگوریتم گفته شده در بخش ۳-۳، p- مقدار بوت استراپ پارامتری را محاسبه کرده که برابر با صفر می­ شود. بنابراین با توجه به اینکه p- مقدار کمتر از سطح معنی داری است، نتیجه می­گیریم فرض صفر رد می­ شود. به عبارت دیگر مشخصات اندازه ­گیری شده از سه گونه گل به طور متوسط متفاوت است.
۵-۲- نتیجه ­گیری
با توجه به مطالعات و بررسی­های انجام شده بر روی نرخ خطای نوع اول می­توان نتیجه گرفت که آزمون GV عملکرد ضعیفی دارد. در حالی که آزمون PB تنها آزمونی است که در تمام شرایط رضایت بخش می­باشد. همچنین در صورت مقایسه دو بردار میانگین نرمال، آزمون PB با آزمون تقریبی MNV یکسان است. علاوه­براین کاربرد آزمون PB در صورت مقایسه چندین بردار میانگین نرمال را می­توان از مزیت­های این آزمون در مقایسه با آزمون MNV به شمار آورد.
پیوست
پیوست۱: قضایای مورد نیاز