و

لذا . چون اگر قرار دهيم ان گاه طبق قضیه 1-3-2 خواهیم داشت :

وقتی و يك تصوير از روي است به طوری كه يك عملگرد است.
از طرفي طبق مثبت بودن و نتيجه مي‌شود كه و لذا :

اکنون اگر قرار دهیم نتیجه می شود که :

اکنون چون با قرار دادن چون یک عملگر از به H است پس نیز یک عملگر از به است و برای هر ، بنابراين . از طرفی طبق قضيه 6-2-2 از [16] براي هر ، به طوری كه یک تصویر و . همچنین و در نتيجه عضو اما يك تصوير است لذا وقتي طبق قضیه 6-2-2 از ]16[ بايد به طوري كه زير فضاي بسته است از طرفی، و برای هر ، پس بنابراين . چون لذا :

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

بنابراین :

که چون در نتیجه لذا :

اما پس با قرار دادن و دانستن اینکه Pنتیجه می شود که :

در اين ضرب داخلي روي عمل مي‌كند چون و وقتي ان گاه بنابراين :

چون براي هايي كه عضو هستند برابر است.
اکنون از پیوستگی و تساوی ) نتیجه می شود که :

جايي كه همگرايي در توپولوژي عملگر قوي ( ) است. لذا :

پس اگر تحول ناپذير باشد در نتيجه :

كه جابجاگر است.
از طرفي چون و پس بايد يك اسكالر باشد. چون و پس لذا :
اما چون پس و در نتيجه . ■
در [11] اثبات شده كه هر زيرمجموعه محدب فشرده ی ضعيف ستاره ی از عامل ، شامل ها به عنوان نقاط فرينش است (البته در حالت طبق [4] قضيه1، ثابت شده كه اگر فشرده و محدب باشد آن گاه نقاط -فرينش همان اسكالرها هستند بنابراين بدون كاسته شدن از كليت مي‌توان فرض كرد كه .

4- 2: تراكم به وقتي:
تعريف 4- 2- 1: فرض كنيم براي هر ، يك تصوير متعامد پوشا به اولين مختص‌ها باشد يعني كه . قرار مي‌دهيم و با مشخص كردن ، را به عنوان زيرمجموعه در نظر مي‌گيريم. بنابراين براي هر ، تراكم به است. همچنين تراكم از به است.
براي هر تعريف مي‌كنيم . لذا به طوري كه و .
گزاره 4- 2- 2: فرض كنيم يك مجموعه ی محدب باشد و تراكم آن به باشد. بنابراين محدب است. اگر فشرده باشد آن‌گاه نيز فشرده است.
حتي اگر آن‌گاه .
قبل از اثبات اين گزاره خاطرنشان مي‌كنيم كه در [12] منظور از، است و چون طبق گزاره 1- 1- 3، پس از همين حالا به جاي از و به جاي از استفاده مي‌كنيم لذا تعريف 4- 2- 1 منطبق بر تعريف آمده در [12] است.
اثبات گزاره 4- 2- 2:
فرض كنيم يك تركيب محدب عنصر از باشد. چون و تراكم پس :

فرض كنيم بنابراين :