ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﻳﻦ ﺿﺮاﻳﺐ، ﻣﻲ ﺗﻮان ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎزﺳﺎزي ﻧﻤﻮد:
(2-15)
در ﻛﻨﺎر اﻳﻦ ﺧﻮاص ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨﺪه، ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ در دﺳﺘﺮس ﻧﺒﺎﺷﺪ. در اﻳﻦ ﻣﻮاﻗﻊ ﻣﻲﺗﻮان از ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎي دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ اﮔﺮ ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎي دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻧﻴﺰ ﻣﻮﺟﻮد ﻧﺒﺎﺷﺪ، ﻣﻲ ﺗﻮان از ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺗﺮي ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان ﻓﺮﻳﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد.

5-2 ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک پیوسته

در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﻼﺻﻪ، راﺑﻄﻪ ﻣﻌﻜﻮس ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک و ﺷﺮط ﻻزم ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮدن اﻳﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ را از دﻳﺪﮔﺎه رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ. ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪه در راﺑﻄﻪ (2-15) ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ ﻫﺮﮔﺎه:
(2-16)
ﺑﺮاي ﺑﺮﻗﺮار ﺑﻮدن اﻳﻦ ﺷﺮط ﺑﺎﻳﺪ موجک ﻣﺎدر، ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ارﺿﺎ ﺷﺪن اﻳﻦ ﺷﺮط در ﺑﺴﻴﺎري ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻪ ﺳﻬﻮﻟﺖ اﻣﻜﺎنﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ، ﻣﺴﺘﻘﻞ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ. در اﻳﻦ ﺻﻮرت، ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ وﻳﻮﻟﺖ از راﺑﻄﻪ زﻳﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﮔﺮدد:
(2-17)
ﻛﻪ در آن c_ψ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ و ﺑﻪ موجک ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد. ﺑﺮﮔﺸﺖﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ و ﺗﻮاﻧﺎﻳﻲ ﺑﺎزﺳﺎزي ﻛﺎﻣﻞ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد. ﻋﻤﻮﻣﺎً اﻳﻦ ﺛﺎﺑﺖ را ﺛﺎﺑﺖ ﭘﺬﻳﺮش ^[44] ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ. ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، ﺷﺮط ﭘﺬﻳﺮش ^[45]ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮد:
(2-18)
ﻛﻪ در اﻳﻦ راﺑﻄﻪ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺗﺎﺑﻊ موجک ﻣﺎدر اﺳﺖ.

6-2 ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺳﺎزي ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ

ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻘﺶ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮﻫﺎ در اﻧﺠﺎم ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت اﻣﺮوزي، ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ در ﻛﻨﺎر ﻣﻄﺮح ﻛﺮدن اﻳﺪه ﻫﺎي ﭘﺮدازﺷﻲ، ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻲ آنﻫﺎ را درﺧﻮر ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻧﻴﺰ درآورد. ﺗﺒﺪﻳﻼﺗﻲ ﻛﻪ ﺗﺎ اﻳﻨﺠﺎ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ، از ﻓﻮرﻳﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺗﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻫﻤﮕﻲ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ و اﻣﻜﺎن ﻛﺎرﺑﺮد ﻋﻤﻠﻲ در ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ را ﻧﺪارﻧﺪ. ﻟﺬا ﺿﺮوري اﺳﺖ ﻛﻪ از ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه آن ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ.
در ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻛﺮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺳﺎده ﺗﺮﻳﻦ روش، ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري از ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻧﻘﺎط ﻣﺨﺘﻠﻒ آن اﺳﺖ. ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ، ﺳﺎدهﺗﺮﻳﻦ روش اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻛﺎر ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. اﻟﺒﺘﻪ در ﻣﻮرد ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداري را ﻛﺎﻫﺶ داد. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﺑﺎﻻﺗﺮ (ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦﺗﺮ) ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺮخ ﻧﺎﻳﻜﻮﺋﻴﺴﺖ ^[46] کاهش داد . ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ ﻓﺮض اﻳﻦ ﻛﻪ ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداري در ﻣﻘﻴﺎس S₁ ، برابر با N₁ باشد ، نمونه بر داری در مقیاس S₁ > S₂ با نرخ N₁ < N₂ صورت خواهد پذیرفت . رابطه دقیق بین این دو نرخ را چنین می توان بیان نمود . [9]
(2-19)
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲﺗﻮان در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري را ﻛﺎﻫﺶ داد ﺗﺎ ﺑﺘﻮان در زﻣﺎن ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺑﻪ ﻣﻴﺰان ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻬﻲ ﺻﺮﻓﻪ ﺟﻮﻳﻲ ﻧﻤﻮد. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ اﮔﺮ ﺑﺎزﺳﺎزي ﺳﻴﮕﻨﺎل از روي ﺗﺒﺪﻳﻞ آن ﻣﺪﻧﻈﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ، ﻣﻲﺗﻮان اﻟﺰاﻣﺎً ﻧﺮخ ﻧﺎﻳﻜﻮﺋﻴﺴﺖ را رﻋﺎﻳﺖ ﻧﻜﺮد. ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﻧﻴﺰ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ، ﺗﺎﺑﻊ موجک ﻣﺎدر ﻛﻪ در ﺷﺮط ﭘﺬﻳﺮش (2-18) ﺻﺪق ﻛﻨﺪ، ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺑﺎزﺳﺎزي ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪ (2-17) ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. اﻟﺒﺘﻪ اﻳﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻓﻘﻂ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺻﺎدق اﺳﺖ. اﻛﻨﻮن اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﻴﺶ ﻣﻲآﻳﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﻧﻴﺰ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺑﺎزﺳﺎزي ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ.
ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﺳﺆال ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ، ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت ﺑﻬﺘﺮ، ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﺷﺮاﻳﻄﻲ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺑﺎزﺳﺎزي ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.
ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻛﺮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، اﺑﺘﺪا ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎسS ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻳﻚ درﺟﻪﺑﻨﺪي ﻟﮕﺎرﻳﺘﻤﻲ، ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﭘﺲ از آن، ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎن ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻣﻘﻴﺎس، ﻳﻚ ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد. اﺻﻄﻼﺣﺎً ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري ﺑﺮ روي ﻳﻚ درﺟﻪﺑﻨﺪي دودوﻳﻲ^[47] اﻧﺠﺎم ﭘﺬﻳﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ. ﺷﻜﻞ (2-14) ﻧﺤﻮه ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻛﺮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺑﺎﻻ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ.
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از مفاهیم بالا ، ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﮔﺮدد:
شکل 2 – 14 محل موج ها به هنگام گسسته کردن بر روی درجه بندی دودویی [5]
(2-20 )
ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، ﺑﺮاي ﺑﺎزﺳﺎزي ﺳﻴﮕﻨﺎل از روي ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﻣﻲﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
(2-21)

7-2 ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ ^[48]

اﮔﺮﭼﻪ ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻛﻪ در ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ ﺑﺎ آن آﺷﻨﺎ ﺷﺪﻳﻢ، ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺳﻴﺴﺘﻢﻫﺎي ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮي را دارد اﻣﺎ در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻳﻚ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻴﺴﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ وﻳﻮﻟﺖ، ﻳﻚ ﺳﺮي موجک اﺳﺖ ﻛﻪ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ. ﻟﺬا اﻃﻼﻋﺎت ﻣﻮﺟﻮد در آن ﺑﺴﻴﺎر زاﺋﺪ و اﺿﺎﻓﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ اﻓﺰاﻳﺶ ﺑﻲ دﻟﻴﻞ ﺑﺎر ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻲ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﻟﺬا از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ از ﻟﺤﺎظ ﭘﻴﺎده ﺳﺎزي ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎدهﺗﺮ و ﺑﻬﻴﻨﻪﺗﺮ اﺳﺖ. اﺻﻮل ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﻪ روﺷﻲ ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان کدگذاری زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ^[49]ﺑﺮﻣﻲﮔﺮدد ﻛﻪ در ﺳﺎل 1976 ﺳﻨﮓﺑﻨﺎي اوﻟﻴﻪ آن ﮔﺬارده ﺷﺪ. اﻳﺪه اﺻﻠﻲ اﻳﻦ روش ﻧﻴﺰ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ﻧﻮﻋﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒ زﻣﺎن- ﻣﻘﻴﺎس از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎي دﻳﺠﻴﺘﺎل اراﺋﻪ میﮔﺮدد. ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک، حاصل ﺷﺒﺎﻫﺖ ﺳﻨﺠﻲ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﺘﻮاي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ (ﻣﻘﻴﺎﺳﻲ) ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﺗﺎﺑﻊ موجک در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ اﺳﺖ. ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻧﻴﺰ ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﻣﻨﻘﺒﺾ/ ﻣﻨﺒﺴﻂ ﺷﺪه و ﺷﻴﻔﺖ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ و در ﻫﺮ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ، از ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب آن در ﺳﻴﮕﻨﺎل، اﻧﺘﮕﺮال زﻣﺎﻧﻲ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد. در ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺴﺴﺘﻪ ، ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻗﻄﻊﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺮاي ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮده ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﺎ ﻋﺒﻮر ﺳﻴﮕﻨﺎل از ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎي ﺑﺎﻻﮔﺬر و ﭘﺎﺋﻴﻦﮔﺬر، ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ آن ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮد. در ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺴﺴﺘﻪ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺗﻮﺳﻂ ﻋﻤﻠﻜﺮدﻫﺎي ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎ ﻛﻨﺘﺮل ﻣﻲ ﺷﻮد و ﻣﻘﻴﺎس از ﻃﺮﻳﻖ نمونه برداری رو به پایین ^[50]ﻳﺎ نمونه برداری رو به بالا ^[51] ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲﻛﻨﺪ . به طور معمول این روند تغییر نرخ نمونه ها بر روی یک شبکه دودویی با S₀ = 2 و انجام می پذیرد . بنابراین مقیاس ها و شیفت های زمانی متناظر به ترتیب عبارتند از s=2^j و .

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

روﻧﺪ ﭘﺮدازش ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ ﭼﻨﻴﻦ آﻏﺎز ﻣﻲ ﺷﻮد؛ در اﺑﺘﺪا ﺳﻴﮕﻨﺎل از ﻳﻚ ﻓﻴﻠﺘﺮ دﻳﺠﻴﺘﺎل ﭘﺎﺋﻴﻦﮔﺬر ﻧﻴﻢ ﺑﺎﻧﺪ ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ [h ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺿﺮاﻳﺐ ﺧﺮوﺟﻲ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺑﺎﻻﮔﺬر، ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻي ﺳﻴﮕﻨﺎل را درﺑﺮدارﻧﺪ، ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺿﺮاﻳﺐ، ضرایب ﺟﺰﺋﻴﺎت ^[53] ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﺎ اﻓﺰاﻳﺶ ﺗﻌﺪاد ﻣﺮاﺣﻞ ﺗﺒﺪﻳﻞ، ﻣﻴﺰان ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻧﻴﺰ ﻛﺎﻫﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ.
شکل (15-2) تبدیل موجک گسسته یک سطحی را بر روی یک سیگنال واقعی به شکل مناسبی نمایش می دهد .
شکل 2 – 15 نمایش نحوه محاسبه تبدیل موجک گسسته سه مرحله ای با بهره گرفتن از ایده بانک فیلتر برای یک سیگنال دلخواه [4]
باﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد ﻣﺮاﺣﻞ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﺮاي ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ، ﺑﻪ ﺧﺼﻮﺻﻴﺎت ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد. ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل از ﻛﻨﺎر ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﻗﺮار دادن ﺧﺮوﺟﻲﻫﺎي ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎ، از ﻣﺮﺣﻠﻪ اول اﻋﻤﺎل ﻓﻴﻠﺘﺮﻳﻨﮓ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، ﺗﻌﺪاد ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي ﺳﻴﮕﻨﺎل ﮔﺴﺴﺘﻪ ورودي ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.
شکل 2 – 16 تبدیل موجک گسسته [28]

8-2 عکس تبدیل موجک گسسته ^[54]

در قسمت قبل یاد گرفتیم که چگونه از تبدیل موجک برای تجزیه یک سیگنال استفاده کنیم ، به این فرایند تجزیه^[55] گفته می شود . اما نیمه دوم ماجرا چگونگی ترکیب مولفه های بدست آمده از مرحله قبل برای ساختن سیگنال اصلی می باشد به طوری که اطلاعاتی از دست نرود . به این فرایند بازسازی ^[56] یا ترکیب^[57] گفته می شود .
برای باز سازی سیگنال از ضرایب تبدیل موجک به دست آمده در بخش پیشین استفاده می کنیم . شکل (2-17) فرایند بازسازی سیگنال را به خوبی نمایش می دهد .
شکل 2 – 17 عکس تبدیل موجک گسسته [10]
جایی که در تجزیه موجک مراحل فیلتر شدن و نمونه برداری رو به پایین انجام می گیرد ، فرایند بازسازی موجک شامل نمونه برداری رو به بالا و فیلتر شدن می باشد . در این جا شکل (2-18) این عملیات را به خوبی نمایش می دهد .
شکل 2 – 18 تبدیل موجک گسسته و عکس آن در یک نگاه [10]

9-2 ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک گسسته دو ﺑﻌﺪي

در ﺑﺨﺶ ﭘﻴﺸﻴﻦ ﺑﺎ اﺻﻮل رﻳﺎﺿﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻳﻚ ﺑﻌﺪي آﺷﻨﺎ ﺷﺪﻳﻢ. ﺑﻪ منظور ﺗﻌﻤﻴﻢ اﻳﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ دو ﺑﻌﺪي، اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎده اي وﺟﻮد دارد ﻛﻪ در اداﻣﻪ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲ ﮔﺮدد. در ﻫﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل دو ﺑﻌﺪي ﻛﻪ از آن ﻋﻤﻮﻣﺎً ﺑﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻳﺎد ﻣﻲﺷﻮد، ﻳﻚ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ از اﻟﻤﺎن ﻫﺎ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺳﻄﺮ و ﺳﺘﻮنﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﭼﻴﺪه ﺷﺪهاﻧﺪ. ﺑﺎ ﻛﻤﻲ دﻗﺖ ﻣﻲﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﺳﺘﻮن ﻳﺎ ﻫﺮ ﺳﻄﺮ از ﻳﻚ ﺗﺼﻮﻳﺮ را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﺗﺼﻮر ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ داﻣﻨﻪ آن، ﻣﻴﺰان روﺷﻨﺎﻳﻲ ﻧﻘﺎط ( ﭘﻴﻜﺴﻞﻫﺎي) ﻣﻮﺟﻮد در آن ﺳﺘﻮن ﻳﺎ ﺳﻄﺮ ﺧﺎص را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﺷﻜﻞ(2-19) ﭼﻨﺪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺳﻄﺮ ﻳﺎ ﺳﺘﻮنﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻳﻚ ﺗﺼﻮﻳﺮ را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﺑﺎ اﻳﻦ اﻳﺪه، ﻣﻲﺗﻮان ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک را ﺑﺮ روي ﻫﺮ ﺳﻄﺮ و ﻳﺎ ﺳﺘﻮن از ﺗﺼﻮﻳﺮ، ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ اﻋﻤﺎل ﻛﺮد. در ﺣﻘﻴﻘﺖ، ﻧﺤﻮه ﭘﻴﺎده ﺳﺎزي ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک دوﺑﻌﺪي ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ، ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر اﻋﻤﺎل ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک دوﺑﻌﺪي ﺑﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮ، اﺑﺘﺪا ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﺑﻪ ﺳﻄﺮﻫﺎ اﻋﻤﺎل ﻣﻲﺷﻮد و ﺳﭙﺲ ﺳﺘﻮنﻫﺎ ﺑﺎ ﻧﺮخ دو نمونه گیری به سمت پایین ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ ﺗﺎ ﻓﻘﻂ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي واﻗﻊ در ﻣﺤﻞ ﻫﺎي زوج ﺑﺎﻗﻲ ﺑﻤﺎﻧﻨﺪ. در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ، ﻣﺠﺪداً ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﺑﺮ ﺳﺘﻮنﻫﺎ اﻋﻤﺎل ﻣﻲ ﮔﺮدد و ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً ﺳﻄﺮﻫﺎ ﺑﺎ ﻧﺮخ دو نمونه گیری به سمت پایین ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، چهار زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ.
ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﺣﺎﻟﺖ ﻳﻚ ﺑﻌﺪي، اوﻟﻴﻦ زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ از ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﻘﺮﻳﺐ اﺳﺖ ﻛﻪ از ﻟﺤﺎظ ﻣﻘﺪار و ﺷﻜﻞ ﻇﺎﻫﺮي، ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﺗﺼﻮﻳﺮ اوﻟﻴﻪ اﺳﺖ. ﺟﺪاي از زﻳﺮ ﺑﺎﻧﺪ ﺗﻘﺮﻳﺐ، سه زﻳﺮ ﺑﺎﻧﺪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ ﻛﻪ ﻳﻜﻲ از آنﻫﺎ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت اﻓﻘﻲ ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺼﻮﻳﺮ، ﻳﻜﻲ از آنﻫﺎ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻋﻤﻮدي ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺼﻮﻳﺮ و آﺧﺮﻳﻦ زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺳﺎﻳﺮ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺼﻮﻳﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﮔﺎﻫﺎً ﺑﻪ آن، ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻗﻄﺮي ﻧﻴﺰ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد. ﺷﻜﻞ (2-20) ، دو ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ وﻳﻮﻟﺖ دو ﺑﻌﺪي ﻳﻚ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮ را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. آﻧﭽﻨﺎﻧﻜﻪ دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮد، در زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﺗﻘﺮﻳﺐ (ﻛﻪ ﺑﺎﻻ، ﺳﻤﺖ ﭼﭗ واﻗﻊ اﺳﺖ) ﺷﻜﻞ اوﻟﻴﻪ ﺣﻔﻆ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ، در زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﺟﺰﺋﻴﺎت اﻓﻘﻲ (ﺑﺎﻻ، ﺳﻤﺖ راﺳﺖ) ﺑﺨﺶﻫﺎي داراي رﻓﺘﺎر اﻓﻘﻲ ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ در ﻣﻲ آﻳﺪ. ﻣﺸﺎﺑﻬﺎً، در زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻋﻤﻮدي (ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﺳﻤﺖ ﭼﭗ) ﺑﺨﺶﻫﺎي داراي رﻓﺘﺎر ﻋﻤﻮدي ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﻣﻲﺷﻮد. آﺧﺮﻳﻦ زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﻧﻴﺰ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت اﺳﺖ ﻛﻪ در ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﻗﺮار دارد.[2]
شکل 2 – 19 سیگنال های یک بعدی به دست آمده از چند سطر و ستون دلخواه از یک نمونه سیگنال دوبعدی (تصویر) . [4]
شکل 2 – 20 تبدیل دوبعدی یک نمونه تصویر[4]
(الف) یک نمونه تصویر شامل انواع جزئیات (ب) یک مرحله تبدیل موجک و 4 زیر باند ایجاد شده
به بیانی دیگر ﺑﺮاي تصاویر دو ﺑﻌﺪي، ﺑﮑﺎر ﺑﺴﺘﻦ تبدیل موجک گسسته ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﭘﺮدازش تصویر بوسیله فیلترﻫﺎي دو ﺑﻌﺪي در ﻫﺮ ﺑﻌﺪ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ. فیلتر تصویر ورودي را ﺑﻪ ﭼﻬﺎر زیر ﺑﺎﻧﺪ غیر ﻫﻤﭙﻮﺷﺎﻧﯽ ﺑﺎ تفکیک ﭼﻨﺪ ﮔﺎﻧﻪ HH, HL, LH, LL تقسیم ﻣﯽ ﮐﻨﺪ. زیر ﺑﺎﻧﺪ LL ضرایب ﺑﺎ مقیاس بزرگ تبدیل موجک گسسته را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﺪ. در ﺣﺎﻟﯽ ﮐﻪ زیر ﺑﺎﻧﺪ ﻫﺎي HH, HL, LH ﺿﺮایب ﺑﺎ مقیاس کوچک تبدیل موجک گسسته را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﺪ. ﺑﺮاي ﺑﺪﺳﺖ آوردن ضرایب ﻣﻮﺟﮏ ﺑﺎ مقیاس درﺷﺖ ﺑﻌﺪي، زیر ﺑﺎﻧﺪ LL ﺗﺎ رسیدن ﺑﻪ سطح نهایی N ﻣﺠﺪداً ﺗﺤﺖ تبدیل تبدیل موجک چندگانه ﻗﺮار می گیرد. وﻗﺘﯽ ﺑﻪ N برسیم N₃+1 زیر ﺑﺎﻧﺪ ﺷﺎﻣﻞ ,HL_X, HH_X LH_X, LL_X ﮐﻪ x در ﻣﺤﺪوده 1 ﺗﺎ N ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ خواهیم داﺷﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ در ﺣﻮزة ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻮﺟﻚ، ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻫﺮﻣﻲ، ﻣﺎﻧﻨﺪ آﻧﭽﻪ در ﺷﻜﻞ (21-2) ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﺷﻮد.
شکل 2 – 21 ساختار تبدیل موجک تصویر [2]

10-2 موجک های چندگانه

1-10-2 مقدمه

در بخش قبل با مفاهیم موجک گسسته که به موجک اسکالر نیز مشهور می باشد آشنا شدیم . از آنجا که تبدیل موجک چندگانه تعمیمی از تبدیل موجک گسسته می باشد ، سعی بر آن داریم تا بیشتر بر روی تفاوت ها و شباهت ها بین این دو نوع تبدیل در این قسمت بپردازیم .