معادله (۱۱-۱) اشاره به معادله قیدی دارد. بعلاوه به عنوان ثابت ها ( اعداد ) موج ^[۸]به ترتیب در جهت های هستند که با بهره گرفتن از شرایط مرزی مشخص می شوند {۱۹} .
جواب برای هر کدام از معادلات (۱۰-۱ الف ) تا (۱۰-۱ پ ) می تواند فرم های متفاوتی بگیرد . بعضی نمونه جواب های مقداری عبارت خواهند بود از :

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۱۲-۱ الف ) :
یا می توانیم به این صورت نیز بنویسیم :
(۱۲-۱ ب ):
و در راستای نیز دو دسته جواب به صورت زیر داریم :
(۱۳-۱ الف ) :
(۱۳-۱ ب ) :
در راستای هم به همان ترتیبی که گفته شد دو دسته جواب داریم:
(۱۴-۱ الف ):
(۱۴-۱ ب ) :
بطور کلی جواب های (۱۲-۱ الف )،(۱۳-۱ الف)و (۱۴-۱ الف ) که بر حسب توابع نمایی مختلط است بیانگر امواج در حال حرکت ^[۹]و جواب های ( ۱۲-۱ ب )، (۱۳-۱ ب )و (۱۴-۱ ب ) بیانگر امواج ایستا^[۱۰] هستند {۲۴} .
جواب برای تابع اسکالر رابطه (۷-۱) از ضرب بدست می آید . بعنوان مثال برای موجبری که در جهت های محدود است ، اما در جهت کشیده شد ه است ، همان طور که در شکل صفحه ی بعد نشان داده شده است ؛ می توانیم بنویسیم که {۱۹}:
(۱۵-۱ ):
(شکل ۳-۱ ) : موجبر مستطیلی که در جهت z کشیده شده است.{۱۹}.
از آن جا که این موجبر در جهت های محدود است با امواج ایستا باید نمایش داده شود و چون در جهت محدود نیست و کشیده شده است با امواج در حال حرکت نمایش داده می شود {۱۹}.
در رابطه(۱۵-۱) متغیر زمانی نمایش دهنده ی موجی است که در جهت در حال حرکت است و متغیر زمانی بیانگر موجی است که در جهت حرکت می کند{۱۹}.

میدان الکتریکی عرضی و بررسی امواج آهسته :

اگر تابع را مؤلفه تابع پتانسیل برداری در نظر بگیریم ، میدان های الکتریکی و مغناطیسی دستگاه معادلات زیر را ارضا می کنند :
(۱۶-۱):
همچنین تابع در رابطه صدق می کند که می توان آن را به این صورت نوشت :
جواب هایی که برای این معادله بدست می آید همانند قسمت قبل می باشد . در این جا هم موجبری را در نظر می گیریم که در جهت های محدود شده است اما در جهت نامتناهی است. بنابراین برای داریم :
(۱۷-۱) :
برای سادگی ، فقط امواجی را که در جهت حرکت می کنند را در نظر می گیریم بنابراین دومین تابع نمایی وجود نخواهد داشت و است.
با این تفاسیر برای امواجی که در جهت حرکت می کنند داریم{۱۹} :
(۱۸-۱ ) :
با جایگذاری رابطه )۱۸-۱) در رابطه ( ۱۶-۱) و به کار بردن شرایط مرزی مناسب ثابت های ، ، ، ، ، ، بدست می آیند .
در ساختار موجبر شکل (۲-۱) برای به کار بردن شرایط مرزی مهم و مناسب احتیاج به مؤلفه های مماسی میدان الکتریکی که بر روی دیواره موجبر صفر می شود ، است . بنابراین در کل ، برای دیواره های کف و بالا داریم :
(۱۹-۱) :
(۲۰-۱):
و بر روی دیواره های چپ و راست داریم :
(۲۱-۱) :
(۲۲-۱) :
برای مدهای ، است و شرایط مرزی (۲۰-۱) و (۲۲-۱) خود به خود ارضا می شوند و همچنین شرایط مشابهی همانند روابط (۱۹-۱) و (۲۱-۱) ارائه می دهند .
با جایگذاری رابطه (۱۸-۱) در (۱۶-۱) می توانیم مؤلفه میدان الکتریکی را این گونه بنویسیم :
(۲۳-۱) :
با بکار بردن شرط مرزی (۱۹-۱) بر روی کف دیواره :
(۲۴-۱) :
تنها راه برای اینکه رابطه بالا ارضا شود و جواب بدیهی بدست نیاید این خواهد بود که باشد .
اکنون با به کار بردن شرط مرزی (۱۹-۱) بالای دیواره می توانیم بنویسیم که :
(۲۵-۱) :
برای جواب های غیر بدیهی ،رابطه (۲۵-۱) فقط می تواند این شرط را ارضا کند که {۲۶و۱۹}:
(۲۶-۱) : n= 0,1,2,…
به روش مشابه می توانیم نشان دهیم که :
(۲۷-۱) :
در نتیجه خواهیم داشت :
(۲۸-۱) :
در رابطه (۲۸-۱) ، m=n=0 مستثنی است زیرا در این صورت یک ثابت خواهد شد و با توجه به روابط (۱۶-۱) همه ی مولفه های حذف خواهند شد ، که این یک جواب بدیهی است .از آن جایی که ترکیب بی نهایت وجود دارد، بنابراین تعداد بی شماری از مدهای را داریم . در شکل (۴-۱) انتشار مد به تصویر کشیده شده است{۲}.
شکل ۴-۱٫ مدل بازتاب مد {۲}.
و اعداد موج مدها به ترتیب در جهت های هستند که به عدد موج در جهت وابسته اند و نیز به محیط بی کران () بستگی دارد.
بطور خلاصه ، عبارت های مناسب برای مدهای با توجه به روابط (۱۶-۱)و (۲۸-۱) عبارت خواهند بود از :
(۲۹-۱) :