(۲-۲-۹)
با در نظر گرفتن و با توجه به اینکه می­باشد، تابع مولد انباشتک به صورت زیر محاسبه می­ شود:
به گونه ­ای که در رابطه ( ۲-۲-۸ ) صدق می­ کند و
می­باشد. حال فرض کنید را به صورت زیر در نظر بگیریم:
(۲-۲-۱۰)
در این صورت است و در نتیجه می­باشد. بنابراین با توجه به اینکه است، نتیجه می­گیریم:

(۲-۲-۱۱)
اگر باشد، مشابه قبل با بهره گرفتن از رابطه ( ۲-۲-۷ ) تابع مولد انباشتک عبارت است از:
و در نتیجه
(۲-۲-۱۲)
حال به بررسی توزیع مجانبی در آزمون می­پردازیم. با توجه به قضیه ۵ پیوست، تحت فرض صفر گشتاور – ام آماره عبارت است از:
(۲-۲-۱۳)
اگر رابطه فوق را با رابطه ( ۲-۲-۱ ) مقایسه کنیم، متوجه می­شویم که ، ، ، ، برای و برای
است.
با بهره گرفتن از رابطه ( ۲-۲-۸ )، به دست می ­آید که با مقدار که در ابتدای بحث به دست آوردیم برابر است. همچنین با بهره گرفتن از رابطه ( ۲-۲-۱۰ )
(۲-۲-۱۴)
به دست می ­آید. با توجه به روابط ( ۲-۲-۱۲ ) و ( ۲-۲-۹ ) و چند جمله­ای برنولی، عبارت است از:
(۲-۲-۱۵)
حال و را به صورت زیر تعریف می­کنیم:
(۲-۲-۱۶)
(۲-۲-۱۷)
فرض کنید و مقدار مشاهده شده باشد.
قضیه ۲-۲-۳: در صورت درست بودن فرض ، توزیع با فرض بزرگ بودن عبارت است از:
به گونه ­ای که و به ترتیب در روابط ( ۲-۲-۱۷ ) و ( ۲-۲-۱۶ ) تعریف شده ­اند و می­باشد.
اثبات: با توجه به روابط ( ۲-۲-۱۲ ) و ( ۲-۲-۱۷ ) قضیه فوق به راحتی اثبات می­ شود.
همان طور که در قضیه ( ۲-۲-۲ ) گفته شد، آزمون نسبت درستنمایی اصلاح شده با ناحیه بحرانی بفرم نااریب است. از طرفی با توجه به تعریف آماره نتیجه می­گیریم فرض برای مقادیر بزرگ رد می­ شود. بنابراین براساس قضیه ۶ پیوست، p – مقدار عبارت است از:
(۲-۲-۱۸)
بنابراین اگر p – مقدار فوق از سطح معنی داری کمتر باشد، فرض برابری ماتریس­های کوواریانس رد می­ شود.

۲-۳- آزمون MNV

در این بخش به معرفی یکی از آزمون­های تقریبی برای فرض برابری بردارهای میانگین دو جامعه نرمال چند متغیره زمانی که ماتریس­های کوواریانس برابر نیستند می­پردازیم.
آزمون اصلاح شده نل و وان در مرو که به اختصار با نماد MNV نشان می­دهیم در سال ۱۹۸۶ براساس فرم درجه دوم ارائه شد که در آن یک برآوردگر برای می­باشد. اگر از برآوردگر نااریب برای استفاده کنیم، آماره آزمون عبارت است از:
(۲-۳-۱)

۲-۳-۱- توزیع آماره

در این قسمت توزیع آماره را به دست می­آوریم.
براساس مطالب بیان شده در فصل اول، تحت فرض برابری بردارهای میانگین، دارای توزیع و دارای توزیع است، به گونه ­ای که می­باشد.
بنابراین تحت فرض برابری بردارهای میانگین
بنابراین
در نتیجه آماره را می­توان به صورت زیر نوشت:
(۲-۳-۲)
به گونه ­ای که
.
با توجه به امید ریاضی توزیع ویشارت که در فصل اول بیان شد
در نتیجه
بنابراین یک تقریب مناسب از توزیع می ­تواند به صورت باشد به گونه ­ای که با مساوی قرار دادن امید ریاضی و محاسبه می­ شود، در صورتیکه داشته باشد.
با توجه به قضیه ۷ پیوست