فرض كنيم . چون و محدب است . بنابراين :

كه چون نمايش در به صورت است در نتيجه تساوي اخير برابر است با :

پس محدب است.
اکنون فرض كنيم فشرده باشد. ابتدا نشان می دهیم که تابع تراكم، يك *- همومورفسيم است. فرض کنیم تابع تراکم از به باشد به طوري كه :

آنگاه :
(1
(2
(3
تساوي (3) به اين دليل است كه پس . لذا طبق قضيه 8- 1- 4 از [9] ، پيوسته است و چون تابع پيوسته هر مجموعه ی فشرده را به فشرده مي‌نگارد پس نيز فشرده است.
اکنون فرض كنيم لذا به ازاي هر، كه هم چنین فرض كنيم به طوری كه . يكاني‌هاي را انتخاب مي‌كنيم به طوري كه :
بنابراین :

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

لذا :
كه در اين مجموع و در نتیجه عضو است.■
گزاره4-2-3: فرض كنيم محدب باشد و يك تركيب محدب ازها باشد آن‌گاه توسط تركيب كردن جملات () مي‌توان و را پيدا كرد به طوري كه را به عنوان تركيب محدب عناصر با تنها دو جمله به صورت باز نويسي كرد.

در اين گزاره به صورت تعريف مي‌شود به طوري كه .
اثبات: [12]، گزاره 3-1.
در اين قسمت نتيجه 4-2-4 را كه به عنوان نتيجه‌اي از قضيه 4-1-1 در [12] آورده‌شده بيان كرده و اثبات مي‌كنيم سپس به كمك آن ملاحظه 4-2-5 را بيان خواهيم كرد. اما قبل از ان سه تکنیک زیر را که برای اثبات این نتیجه لازم داریم بیان می کنیم.
تكنيك A: فرض كنيم به طوري كه و براي هر . اكنون اگر اين ترکیب يك تركيب محدب محض براي نباشد، مي‌توانيم را به صورت زير بازنويسي كنيم :

به طوري كه كه چون ، تعداد ضرايب تركيب محدب براي هر كمتر از ضريب است. چون هر معكوس‌پذير است و بنابراين به صورت تركيب محدب محض از عناصر با ضرايب است.
تكنيك B: فرض كنيم يك فضاي هيلبرت و یک زير فضاي خطي و بسته از است به طوري كه هم چنین ضرايب محدب به شكل باشد به طوري كه و اگر

آن‌گاه براي هر را مي‌توان به صورت زير بازنويسي كرد :

جايي كه :

البته براي اينكه به صورت تركيب محدب محض از و باشد كافي است معكوس‌پذير باشد.
تكنيكC: اگر معكوس پذيرباشد آن‌گاه را مي‌توان به صورت زير بازنويسي كرد :

به طوري كه و توسط رابطه زير مشخص مي‌شود :
نتيجه 4-2-4: فرض كنيم و يك نقطة فرين و تحويل ناپذير باشد. اگر یک ترکیب -محدب از باشد، آن‌گاه يكاني و موجودند كه :

،.
اثبات:
ابتدا نشان مي‌دهيمکهبرای هر ، . فرض‌كنيم .

طبق گزارة 4-2-3 وقتي ، محدباست و يك تركيب محدب از ان گاه با تركيب جملات مي‌توان و را پيدا كرد به طوري كه اکنون با به كارگيري روش اثبات در قضيه 4-1-1 و با در نظر گرفتن تجزيه قطري نتيجه مي‌شودکه :