۳- اگر هم یک ایده‌آل چپ و هم یک ایده‌آل راست باشد، را یک ایده‌آل گوییم.
فصل دوم
گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی
تعریف ۲-۱٫ گروه‌وار
یک گروه‌وار، یک رسته است که تشکیل شده از دو مجموعه‌ی وکه به‌ ترتیب مجموعه‌ی ریخت‌ها ومجموعه‌ی اشیاء گروه‌وار نامیده می‌شوند به همراه نگاشت‌های زیر:
۱- دو نگاشت و که به‌ ترتیب نگاشت‌های منبع وهدف نامیده می‌شوند.
۲- نگاشت
که نگاشت شیء نامیده می‌شود.
۳- نگاشت معکوس
۴- نگاشت ترکیب
جایی‌که
همچنین نگاشت‌ها باید در شرایط زیر صدق کنند:
۱- برای هر داریم:

و
۲- برای هر به‌طوری‌که و داریم:
۳- برای هر ، جایی که همانی دراست، داریم:
۴- برای هر داریم:
و
۵-هر عنصر دارای یک وارون است به طوری که
و
نکته ۲-۲٫ با توجه به شرط ۵ ترکیب‌های و با معنا می‌باشند وداریم:
و
گزاره ۲-۳٫ فرض کنیدیک گروه‌وار روی باشد و که و در این صورت
۱- اگر ، و آن‌گاه.
۲- اگر ، وآن‌گاه.
۳- اگر ، وآن‌گاه.
۴- اگر ، وآن‌گاه.
برهان قسمت ۱–
داریم . بنابراین . لذا
بنابراین داریم:
برهان قسمت ۲–
، بنابراین . در نتیجه
برهان قسمت ۳–
برهان قسمت ۴–
این قسمت از گزاره نشان می‌دهد معکوس یکتاست.■
تعریف ۲-۴٫ اگر یک گروه‌وار باشد، برایمجموعه‌ی همه‌ی ریخت‌های
را که و با نشان می‌دهیم.
مثال ۲-۵٫ ثابت می‌کنیم هر گروه خود یک گروه‌وار است.
فرض کنیم یک گروه باشد. با در نظر گرفتن عضو همانی گروه به عنوان مجموعه اشیاء گروه‌وار و در نظر گرفتن خودبه عنوان ریخت‌های گروه‌وار، نگاشت‌ها را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
نگاشت منبع و هدف
نگاشت شیء
نگاشت معکوس
جایی‌که وارون عنصر در گروه می‌باشد.
نگاشت ترکیب
نگاشت ترکیب را همان عمل گروه روی و می‌گیریم.
نشان می‌دهیم که شرایط گروه‌وار را دارد: