_eBt ₌cosbt −sinbt ]_.
[
sinbt cosbt

٢.١.٢ حالتهای مختلف منحن های فاز دست اههای خط در ^۲R

در این بخش در مورد حالتهای مختلف منحن های فازی دست اه خط
x˙ = Ax, (۶.٢)
را که در آن ^۲x ∈ R وA ی ماتریس ۲×۲ است، بحث م کنیم. م دانیم که همواره م توان ماتریس وارونپذیرP (که ستونهای آن بردارهای ویژه تعمیمیافته ماتریسA هستند) را طوری محاسبه کرد کهB _{= P}−^۱_AP . بنابراینابتدا دست اه خط

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

x˙ = Bx, (٧.٢)
را حل نموده و منحن های فازی آن را رسم م کنیم، سپس تحت تبدیل خطx _{= Py} منحن های فازی دست اه(۶.٢) از طریق منحن های فازی دست اه (٧.٢) ایجاد م شوند. نشان دادیم که اگر ماتریس ،
، با توجه به قضیه اساس و حالتهای محاسبه شده ماتریسe^Bt در بخش
١.١.٢ نتیجه م گیریم که جواب مسأله اولیه (٧.٢) با شرط اولیه _۰x_{(0) = x} بهصورت زیر است
،_x λt
اکنون حالتهای منحن های فازی را که از این جوابها نتیجه م شود، بررس م کنیمحالت اول: که در آنλ < ۰ < µ .
در این حالت تصویر فاز دست اه خط (٧.٢) با ش ل زیر نشان داده شده است.
ش ل ٢.١: ی زین در مبدأ.
گفته م شود که دست اه (٧.٢) در این حالت ی نقطه زین در مبدأ دارد. اگرµ < _{۰ < λ} ، جهت پی انها درش ل فوق مع وس م شود. در خصوص دست اه خط (۶.٢) م توان گفت که اگرA دو مقدار ویژهی حقیقمثبت داشته باشد،_{< λ < µ} ۰ تصویر فاز آن با تصویر فاز نشان داده شده در ش ل فوق بهطور خط معادل است.
بهعبارت دی ر با ی تبدیل خط مختصات از ش ل ١.٢ حاصل م شود. چهار مسیر غیر صفر یا منحن های جوابرا که وقت ∞±→t به نقطه ساکن در مبدأ نزدی م شوند، جدا کنندههای دست اه م نامیم.
حالت دوم: که در آن .
در این حالت تصویر فاز دست اه خط (٧.٢) با ش ل زیر نشان داده شده است. در تمام این حالتها به مبدأ، گرهپایدار م گوییم.
ش ل ٢.٢: گره پایدار در مبدأ.
اگر در دور اولλ _{= µ} ، به آن گره ستارهای(سره) و در دو حالت دی ر به آن گره ناسره(در حالت که _۰λ < آنرا گره تبه ون) م گوییم. اگر_{< µ} ≤ λ ۰ یا _۰λ > (در حالت٢)، جهت پی انها در ش ل مع وس شده و بهمبدأ، گره ناپایدار م گوییم. در خصوص دست اه خط (۶.٢) م توان گفت که اگرA دو مقدار ویژهی منف داشته
٢۴
باشد، منحن فاز آن با تصویر فاز نشان داده شده در ش ل فوق بهطور خط معادل است. پایداری گره با توجه بهعلامت مقادیر ویژه تعیین م شود. اگر _۰λ ≤ µ < ، گره پایدار است و اگر _۰λ ≥ µ > ، گره ناپایدار است. تماممسیرهای ش ل٢.٢ در امتداد ی خط مماس به نقطهی ساکن مبدأ میل م کنند وقت کهt به ∞ نزدی م شود.
حالت سوم: که در آن _۰a < .
در این حالت تصویر فاز دست اه خط (٧.٢) با ش ل زیر نشان داده شده است. در تمام این حالتها به مبدأ،کانون پایدار م گوییم.
ش ل ٢.٣: کانون پایدار در مبدأ.
اگر _۰a > ، با افزایشt ، مسیر منحن ها بهصورت مارپیچ از مبدأ دور م شود و مبدأ را کانون ناپایدار م نامند. درخصوص دست اه خط (۶.٢) م توان گفت که اگرA دو مقدار ویژهی مختلط مزدوج با قسمت حقیق غیر صفرداشته باشد یعنa ± ib ، در حالت _۰a < منحن های فاز آن با تصاویر فاز نشان داده شده در ش ل فوق بهطورخط معادل خواهد بود. مسیرهای ش ل٣.٢ با خطوط مماس خوش تعریف، به مبدأ میل نم کنند. بهعبارت دی ر،
زاویهای که بردار (x(t با محور _۱x م سازد ((θ(t) وقت ∞→t به ثابت _۰θ میل نم کند بل ه در این حالت، وقت∞ →θ(t) |→ ∞ ،t | ^و ۰ →| (x(t |^.
حالت چهارم: .
در این حالت تصویر فاز دست اه خط (٧.٢) با ش ل زیر نشان داده شده است. در این حالت گفته م شود کهدست اه در مبدأ ی مرکز دارد.
ش ل ٢.۴: ی مرکز در مبدأ.
در خصوص دست اه خط (۶.٢) م توان گفت که اگرA دو مقدار ویژهی مختلط و مزدوج موهوم محض داشته٢.٢. بررس هندس نقاط جاذب و دافع ی سیستم دینامی ۵٢باشد یعنib ±، منحن فاز آن با تصاویر فاز نشان داده شده در ش ل فوق بهطور خط معادل خواهد بود. مسیرهایش ل۴.٢ روی دایره های قرار دارند که در آنها | ₍x_(t | برابر با مقداری ثابت است. در حالت کل ، منحن هایدست اه (۶.٢) برای هرt ∈ R درm ≤| x(t) |≤ M صدق م کند. در این حالت، زاویهی (θ(t همچنین در∞→| (θ(t | با ∞→t صدق م کند. اگر ی یا دو مقدار ویژهیA برابر صفر باشد بهعبارت دی ر اگر
_۰=detA به مبدأ، نقطهی ساکن منحط دست اه (۶.٢) م گوییم.
مثال ٢.١.٠١. (دست اه خط که در مبدأ ی مرکز دارد) دست اه خطx از آنجاکهماتریسA مقادیر ویژهای بهصورتλ ₌ ±۲_i دارد، مبدأ را به عنوان مرکز دارد. طبق قضیه ٩.١.٢ ماتریسمع وسپذیر با مع وس ، ماتریسA را به ماتریس زیر تبدیل م کند
.
بنابراین طبق آنچه در بخش ١.١.٢ اشاره شد، جواب دست اه خطx_{˙ = Ax} بهصورت زیر است
x
که در آن (۰)c = x و بنابراین داریم
که در نتیجه جوابهای این دست اه برای هرt ∈ R در رابطه زیر صدق م کنند
.
بهعبارت دی ر جوابهای این دست اه بر روی بیض های رسم شده در ش ل زیر قرار دارند.
ش ل ٢.۵: ش ل هندس مثال.

٢.٢ بررس هندس نقاط جاذب و دافع ی سیستم دینامی

بررس هندس نحوه قرار گرفتن نقاط جاذب و دافع ی سیستم و چ ون نزدی یا دور شدن نقاط دی ر سیستمبه این نقاط، از اهمیت ویژهای برخوردار است. در این بخش با بهرهگیری از مبحث مربوط به رسم منحن های فازی۶٢
ی دست اه معادلات دیفرانسیل خط به تشریح نمودارها م پردازیم. از طرف چون نقاط ثابت تابع، در بررسرفتار ن اشت از اهمیت خاص برخوردار است و براساس آنها م توان نحوهی تحول سیستم را درک کرد لذا باتعیین نقاط ثابت ن اشت م توان بهراحت جاذبها و دافعهای آنرا محاسبه نمود. در این بخش عمدهی مطالب از[۶١] است.
تبصره ٢.٢.١. فرض م کنیم ∗x نقطهی ثابت ن اشتf و تابعf مشتقپذیر باشد. در اینصورت نقاط ثابت براساس پایداری آنها به چهار گروه تقسیم م شوند:
اگر _۱ <| (∗f′(_x | باشد، در اینصورت نقطهی ∗x از پایداری خط برخوردار است. این نقاط را نقاط جاذب
^[۱۰] م نامند.
اگر _۱ >| (∗f′(_x | باشد، در اینصورت نقطهی ∗x ناپایدار است. به نقاط ثابت ناپایدار، نقاط دافع ^[۱۱] نیزم گویند.
اگر ۱=| (∗f′(_x | باشد، در اینصورت نقطهی ∗x را نقطهی ثابت حاشیهای یا نیمهپایدار م گویند.
۴) نقاط که در آنها شرط ۰=| (∗f′(_x | برقرار باشد، نقاط فوقپایدار نامیده م شوند.